Τα μαθηματικά στην ποίηση

Από τον Δημήτρη Γαβαλά // *

 

Το τριπλό πρόβλημα της σύγχρονης γνώσης συνίσταται από: (i) Την αύξηση της πληροφορίας σε όλους τους τομείς, (ii) τον κατακερματισμό της, και (iii) το αίτημα για αποτελεσματικότητα της δράσης στην επίλυση σύνθετων πραγματικών προβλημάτων. Μια απάντηση στο ζήτημα αυτό αποτελεί η διαθεματικότητα/ διεπιστημονικότητα, δηλαδή η ολιστική προσέγγιση των γνωστικών αντικειμένων. Στοάρθρο αυτό προτείνεται η συνθετική μελέτη Μαθηματικών και Ποίησης, και ειδικότερα ποιημάτων διεθνώς αναγνωρισμένων ποιητών που χρησιμοποιούν θέματα από τα Μαθηματικά, με στόχο να αποκτήσουν οι μελετητές εναλλακτική και ευρύτερη αντίληψη, κυριολεκτικά ‘άλλη ματιά’, για αυτό το γνωστικό πεδίο.  

1. Επιστήμη ως Γνωστική Προσέγγιση έναντι Τέχνης ως Αισθητικής

Η διάλεξη του Snow, που έγινε στο Cambridge το 1959, για τις δυο κουλτούρες, την επιστημονική-τεχνολογική από τη μια και αυτή των γραμμάτων και της τέχνης από την άλλη, υπογραμμίζει την έλλειψη επαφής και το διευρυνόμενο χάσμα ανάμεσά τους. Η παραδοσιακή διάκριση ανάμεσα στην επιστήμη και την τέχνη ισχυρίζεται ότι η πρώτη σχετίζεται με την αναζήτηση της αλήθειας, ενώ η δεύτερη με την αισθητική εκτίμηση του Κόσμου (ομορφιά). Έτσι, έβλεπαν την επιστήμη και την τέχνη ως δυο παράλληλα κινούμενες μοναχικότητες, με την επιστήμη να εδράζεται στη Λογική και την εμπειρία και την τέχνη στη συγκίνηση, τα συναισθήματα και τις εκφάνσεις τους. Τα δυο πεδία διαφοροποιούνται ανάλογα με τους στόχους, τις μεθόδους, τη γλώσσα και την εσωτερική δομή και αντιπροσωπεύουν διαφορετικό τρόπο προσέγγισης του Κόσμου. Αναζητώντας με νέα μέσα -Γνωσιακές επιστήμες, συστημική μεθοδολογία κτλ.- το κοινό υπόβαθρο επιστήμης και τέχνης, περνάμε από το δυαδικό σύστημα των αντιθέτων/ ανταγωνιστικών ‘αλήθεια – ομορφιά’ στη διαλεκτική σύνθεση/ συναγωνιστικότητά τους. Επομένως, μπορούν να θεωρηθούν συμπληρωματικές, αφού είναι εκφάνσεις της ίδιας ανθρώπινης δραστηριότητας, δηλαδή της προσέγγισης του Κόσμου. Το σύνορο μεταξύ επιστήμης και τέχνης είναι μάλλον δυσδιάκριτο. Ο αγώνας για την αναζήτηση της αλήθειας και του ωραίου/ ομορφιάς δεν περιχαρακώνεται σε συμβάσεις ορολογίας. Ο όρος Τεχνοεπιστήμη, που περιγράφει το δίπολο επιστήμη-τεχνολογία από τη μια πλευρά και τέχνη από την άλλη, δείχνει περισσότερο τάση αλληλεπίδρασης παρά απομόνωσής τους:

Δυο βασικές στάσεις του ανθρώπου, η γνωστική και η αισθητική, στηρίζονται και στη διαφορετική χρήση της γλώσσας, πράγμα που συνεπάγεται σημαντικές μεθοδολογικές διαφοροποιήσεις στην οργάνωση και διαμόρφωση των γλωσσικών τους δικτύων. Η γλώσσα δεν είναι μόνο κώδικας επικοινωνίας, αλλά και εργαλείο έλλογης σκέψης και αυτοσυνείδησης, καθώς επίσης και όργανο διασύνδεσης με τον Κόσμο.

Η επιστήμη κατανοείται ως συστηματική γνωστική δραστηριότητα με διυποκειμενική ισχύ. Με τον τρόπο αυτό, εισάγεται η έννοια της αντικειμενικής γνώσης. Αποκλείεται η χρησιμοποίηση εντελώς υποκειμενικών πηγών γνώσης -ενόραση, αποκάλυψη κτλ.- και η διατύπωση των υποθέσεων σε γλώσσα που δεν είναι πλήρως κατανοητή από τους άλλους. Οι τυπικές επιστήμες, Μαθηματικά και Λογική, προσφέρουν τα αναγκαία εργαλεία ώστε οι εμπειρικές επιστήμες να αυξάνουν το πληροφοριακό δυναμικό μας. Οι πρώτες προσανατολίζονται στην έννοια της τυπικής αλήθειας, που αποσκοπεί στην εσωτερική συνέπεια των αξιωμάτων και θεωρημάτων ανεξάρτητα από τη διαμόρφωση της πραγματικότητας, ενώ οι δεύτερες στην έννοια της εμπειρικής αλήθειας, που αποσκοπεί στην ορθή αναπαράσταση του Κόσμου.

Η επιστήμη, ως γνωστική προσέγγιση του Κόσμου, διαθέτει γλωσσικό δίκτυο απαλλαγμένο από σημασιολογική αστάθεια και ασάφεια, αξιολογική φόρτιση και τον πρακτικό προσανατολισμό της καθημερινής γλώσσας, ενώ διαθέτει αυστηρότητα και μονοσήμαντο περιεχόμενο. Πρόκειται τελικά για ‘σκέψη με έννοιες’ η οποία αντιπαραβάλλεται στη ‘σκέψη με εικόνες’ που είναι το χαρακτηριστικό της τέχνης γενικότερα και της ποίησης ειδικότερα, ως γλωσσικής-αισθητικής προσέγγισης του Κόσμου. Η ποίηση γίνεται με λέξεις και συνιστά ειδική γλώσσα μέσα στη γενική, όπου οι λέξεις χάνουν τον πρόσκαιρο, συμπτωματικό και καθημερινό χαρακτήρα τους και αποκτούν ποιητική λειτουργία. Στην επιστήμη η γλώσσα είναι μέσον γνώσης του Κόσμου, ενώ στην ποίηση γίνεται μέσον και σκοπός, όργανο και αντικείμενο μαζί. Η ποιητική λειτουργία μιας λέξης αποτελεί έναυσμα ανάκλησης πολλαπλών παραστάσεων και συγκινησιακής τους διεύρυνσης γύρω από ένα αισθητικό κέντρο. Η υποβλητική και συνειρμική δύναμη της γλώσσας συνιστά το κριτήριο επιλογής των ποιητικών λέξεων, αφού χρησιμοποιούνται εκείνες που προκαλούν συγκινησιακές δονήσεις και διαθλάσεις. Λέξεις αισθητικά φθαρμένες αποκλείονται, σε αντίθεση προς την επιστήμη που τυποποιεί το λεξιλόγιό της. Στην ποίηση, ακόμα και όταν χρησιμοποιούνται καθημερινές λέξεις, μεταλλάσσονται και φορτίζονται με ένα αισθητικό σχήμα και εντάσσονται σε ευρύτερη ενότητα. Βάση επιλογής τους είναι εποπτεία, φαντασία και συγκίνηση μαζί,  που δεν πηγάζουν  από πρακτική και γνωστική θεώρηση του Κόσμου αλλά από το δημιουργικό κέντρο της ανθρώπινης υπόστασης. Η υποβλητική δύναμη της ποίησης εκπορεύεται από τη συγκινησιακή-παραστατική σημασία των λέξεων και από τη  χρησιμοποίηση τροπικών σχημάτων -παρομοιώσεων, μεταφορών, συνεκδοχών κτλ.- που συνδέουν συνειρμικά τα στοιχεία του Κόσμου.

Η αισθητική μετουσίωση των νοημάτων γίνεται συμβολικά: Σε ένα γλωσσικό έργο συνυπάρχουν και ταυτίζονται νοητός και αισθητός Κόσμος. Η ποίηση είναι τέχνη της δημιουργίας γλωσσικών συμβόλων, συνθετική τέχνη σύλληψης και αισθητοποίησης νοημάτων και εικόνων. Στην τέχνη, όπως και στην επιστήμη, δεν επιδιώκεται φωτογράφηση του Κόσμου. Στόχος είναι να συλληφθεί ένα στοιχείο του που εκφράζεται μέσα από φαινόμενα χωρίς ωστόσο να ταυτίζεται με αυτά. Ο Κόσμος αναπλάθεται αισθητικά με αλληλουχίες που δεν υπακούουν σε λογικούς κανόνες αλλά έχουν δικό τους εσωτερικό λόγο. Ακόμα και όταν ο ποιητής θέλει να εκφράσει αφηρημένες ιδέες, δεν χρησιμοποιεί τις αντίστοιχες επιστημονικές ή φιλοσοφικές έννοιες, αλλά τις αισθητοποιεί. Η γλώσσα της ποίησης δεν είναι γλώσσα εννοιών αλλά εικόνων που δένονται και εντάσσονται σε ένα ευρύτερο αισθητικό σύνολο, εκφράζοντας μια βαθύτερα ανθρώπινη εποπτική-νοηματική σύλληψη του Κόσμου. Επιστήμη και τέχνη είναι δύο προσεγγίσεις που χρησιμοποιούν με διαφορετικό τρόπο την ανθρώπινη γλώσσα. Η πρώτη επιδιώκει πληροφόρηση, εξήγηση και πρόβλεψη, αξιολόγηση, ρύθμιση και κατανόηση του Κόσμου, που προϋποθέτουν εννοιολογική σαφήνεια, αυστηρότητα ορολογίας και εσωτερική συνέπεια. Η δεύτερη συλλαμβάνει εποπτικά-συγκινησιακά την πραγματικότητα με πολύσημη, κάποτε αμφίσημη και μεταφορική γλώσσα, αποσκοπώντας στη βαθύτερη ενότητα νοήματος και στόχων της ανθρώπινης παρουσίας.

Η σχέση επιστήμης και τέχνης γίνεται σαφέστερη, αν κατανοηθεί ο ρόλος της αναλογικής σκέψης, που στηρίζεται στην ομοιότητα καταστάσεων και πραγμάτων στις δυο αυτές περιοχές της ανθρώπινης δραστηριότητας. Κριτήριο ομοιότητας στην τέχνη είναι το αισθητικό αποτέλεσμα των λέξεων ως φορέων συγκίνησης και συναισθήματος. Όμοιες καταστάσεις δημιουργούν όμοια συναισθήματα: Συμβολίζοντας μια κατάσταση με τα μέσα της άλλης, η μεταφορική χρήση μιας λέξης διαποτίζει την πρώτη με τα συναισθήματα που προκαλεί η δεύτερη. Στην ποίηση, οι λέξεις και οι προτάσεις δεν έχουν αναφορά αλλά μόνο σημασία, ενώ το αίτημα αλήθειας των επιστημονικών προτάσεων οδηγεί από το νόημα των όρων στην αναφορά τους. Εικόνες και συναισθήματα είναι εσωτερικά υποκειμενικά στοιχεία που δεν έχουν αναφορά στον εξωτερικό Κόσμο. Σύμφωνα με τον Carnap, σκοπός του ποιήματος που περιέχει λέξεις όπως ήλιος και σύννεφα δεν είναι να μας δώσει πληροφορίες για τα αστρονομικά αυτά φαινόμενα αλλά να εκφράσει συναισθήματα του ποιητή και να προκαλέσει παρόμοια συναισθήματα στον αναγνώστη. Από το άλλο μέρος, στην επιστήμη, η ομοιότητα καταστάσεων έχει κυρίως ευρετική αξία, επιτρέποντας παραγωγικές υποθέσεις για νέες περιοχές του επιστητού που εμφανίζουν δομικές αναλογίες προς άλλες που έχουν ήδη διερευνηθεί με επιτυχία.. Παρά τον προβληματικό της χαρακτήρα ως μεθοδολογικού εργαλείου διεύρυνσης της γνώσης, η αναλογική και μεταφορική σκέψη μπορεί  να βοηθήσει στην κατανόηση της επιστημονικής γνώσης. Μέσω σωστών αναλογικών σχημάτων, ακόμα και με τη χρήση έργων τέχνης, μπορούμε να βοηθηθούμε στην κατανόηση επιστημονικών θεωριών, χωρίς να χρειάζεται να μελετήσουμε σε βάθος κάθε επιστημονική περιοχή. Επιστήμη και τέχνη είναι από την  πλευρά αυτή στενά δεμένες ανθρώπινες δραστηριότητες που έχουν κοινό στήριγμα τη δημιουργική φαντασία και επιδιώκουν τη δημιουργία ολοκληρωμένων ανθρώπων. Η χρήση μιας αισθητηριακά εύληπτης γλώσσας για την ευρύτερη κατανόηση των πορισμάτων της επιστήμης προτείνεται ως βάση μιας στενότερης εσωτερικής σχέσης επιστήμης και τέχνης. Έτσι, η επιστήμη θεωρείται ως η πιο γνήσια πηγή ποιητικής έμπνευσης και ζητείται από τους επιστήμονες να χρησιμοποιούν, για να γίνουν ευρύτερα κατανοητοί, ποιητική γλώσσα εικόνων και τονίζεται η αισθητική λειτουργία της επιστημονικής γνώσης (Γέμτος).

2. Τα Μαθηματικά στην Παγκόσμια Ποίηση: Υλικό και Σχόλια

Δίνουμε εδώ μικρό δείγμα από το πλούσιο υλικό που υπάρχει σε αυτό τον τομέα, καθώς επίσης και σχόλια για τη μαθησιακή χρήση του.

MiroslavHolub, Ο Μάγος Τσίτο (Απόσπασμα).

Σκέψου κάτι άλλο, απαιτεί η Αυτού Μεγαλειότητα ο Βασιλεύς./ Σκέψου ένα μαύρο αστέρι. Και σκέφτεται ένα μαύρο αστέρι./ Σκέψου στεγνό νερό. Και σκέφτεται στεγνό νερό./ Σκέψου ένα ποτάμι δεμένο με αχυρένια σχοινιά. Και το σκέφτεται./ Τότε σπεύδει ένας σπουδαστής και ζητά: Σκέψου ημίτονο άλφα/ μεγαλύτερο από το ένα./ Και ο Τσίτο χλομιάζει και θλίβεται: Να τον συγχωρούνε πολύ./ Το ημίτονο είναι μεταξύ συν ένα και πλην ένα./ Δε γίνεται τίποτα με αυτό./ Και αφήνει τη μεγάλη βασιλική αυτοκρατορία/ ήσυχα υφαίνει το δρόμο του/ μέσα από το πλήθος των αυλικών/ τραβάει για το σπίτι του/ γρήγορα.

Σχόλιο: Χρησιμοποιείται ένας ‘νόμος’ των Μαθηματικών -το ημίτονο είναι μεταξύ συν ένα και πλην ένα-και ενώ ο μάγος μπορεί να σκεφτεί ο,τιδήποτε, ακόμα και αντιφατικό, δεν μπορεί να σκεφτεί κάτι που πάει ενάντια στον νόμο αυτό. Γιατί; Ο μελετητής πρέπει να γνωρίζει και να χρησιμοποιεί αυτό τον νόμο, αλλά πρέπει να κατανοεί υπό ποιες συνθήκες ισχύει αυτός και τη διαφορά του από τον ‘περιορισμό’.

*

**

HansMagnusEnzensberger, HommageAGödel.

Το θεώρημα του Μινχάουζεν, άλογο, βάλτος και λοφίο/ είναι μαγευτικό, αλλά μην ξεχνάς:/ ο Μινχάουζεν ήταν ψεύτης./ το θεώρημα του Γκέντελ πλέκει από την πρώτη στιγμή/ κάτι ασήμαντο, αλλά σκέψου:/ ο Γκέντελ είχε δίκιο./ “σε κάθε αρκετά πλήρες σύστημα/ αν σχηματίζονταν προτάσεις/ που μέσα στο σύστημα/ δεν είναι ούτε αποδείξιμες ούτε αναιρέσιμες/ τότε το σύστημα/ θα ήταν καθαυτό ανυπόστατο”./ μπορείς τη γλώσσα σου/ να περιγράψεις με τη γλώσσα σου./ μα όχι απόλυτα./ μπορείς το νου σου/ να εξερευνήσεις με το νου σου/ μα όχι απόλυτα./ και λοιπά./ κάθε πιθανό σύστημα/ για να δικαιωθεί/ πρέπει να ξεπεράσει τον εαυτό του/ δηλαδή να τον καταστρέψει./ “αρκετά πλήρες” ή όχι/ η έλλειψη αντιφάσεων/ είναι σύμπτωμα ανεπάρκειας/ ή αντίφαση./ κάθε πιθανός καβαλάρης/ ακόμα και ο Μινχάουζεν/ ακόμα και συ, είσαι ένα υποσύστημα/ ενός αρκετά πλήρους βάλτου./ και ένα υποσύστημα αυτού του υποσυστήματος/ είναι το λοφίο/ το εργαλείο που ανυψώνει/ τους αναθεωρητές και τους ψεύτες./ σε κάθε αρκετά πλήρες σύστημα/ ακόμα και σε τούτον δω το βάλτο/ ας σχηματιστούν προτάσεις/ που μέσα στο σύστημα/ δεν είναι ούτε αποδείξιμες ούτε αναιρέσιμες./ πάρε τούτες τις προτάσεις στο χέρι/ και τράβα!

Σχόλιο: Ο ποιητής αναφέρεται στο θεώρημα της μη-πληρότητας του Gödel, που το απέδειξε το 1931 και επέφερε μεγάλο πλήγμα στο πρόγραμμα του Hilbert για τη θεμελίωση των Μαθηματικών. Το θεώρημα λέει ότι σε ένα σύστημα υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να αποδειχτούν ούτε ότι είναι αληθείς ούτε ψευδείς και επομένως είναι ‘αναποφάσιστες’. Πώς χρησιμοποιεί ο ποιητής το θεώρημα για να προβάλει κάποιες κοινωνικές απόψεις; Τι ακριβώς λέει το θεώρημα και ποιες επιπτώσεις είχε στα Μαθηματικά; Ποιο ήταν το πρόγραμμα του Hilbert;

*

**

Λωτρεαμόν, Τα Άσματα του Μάλντορορ (Δεύτερο Άσμα – Μέρος 8).

Ω! Μαθηματικά σπουδαία, μου μείνατε αξέχαστα, από τότε που τα σοφά μαθήματά σας, πιο γλυκά και από μέλι, καταστάλαζαν στην καρδιά μου σαν σκίρτημα εμψυχωτικό. Από την κούνια ακόμη, μια έμφυτη ροπή μ’ έσπρωχνε να πιω από την πηγή σας, που είναι και από τον ήλιο αρχαιότερη, και εξακολουθώ να περιφέρομαι στο ιερό προαύλιο του μεγαλόπρεπου ναού σας, εγώ, ο πιο πιστός από τους μύστες σας. Μια σύγχυση, και δεν ξέρω κάτι σαν πυκνός καπνός θόλωνε το λογικό μου, μέχρι που αξιώθηκα ν’ ανέβω τα σκαλιά που οδηγούνε στο βωμό σας, και διώξατε αυτό το σκοτεινό πέπλο, σαν τον άνεμο που διώχνει την ημερινή πεταλούδα, για να βάλετε στη θέση του μιαν απάθεια στο έπακρο, μια καταλαγιασμένη γνώση και μιαν αδυσώπητη λογική. Χάρη στο τονωτικό σας γάλα, η αντίληψή μου γρήγορα αναπτύχθηκε και πήρε διαστάσεις απεριόριστες, μέσα σε αυτή τη γοητευτική διαύγεια, που με απλοχεριά χαρίζετε, σε όσους τρέφουν για σας πραγματικό πάθος. Αριθμητική, Άλγεβρα, Γεωμετρία! Τριάδα επιβλητική! Τρίγωνο φωτοβόλο! Αυτός που δεν σας γνώρισε είναι ανόητος! Και θα του αξίζανε για να πειστεί οι μεγαλύτερες δοκιμασίες, αφού μέσα στην ανίδεη αδιαφορία του, υπάρχει η περιφρόνηση της στραβομάρας. Αυτός όμως που σας γνώρισε, και ξέρει να εκτιμήσει την αξία σας, δεν θέλει τίποτα πια από τ’ αγαθά της γης. Ικανοποιείται με τις απολαύσεις της μαγικής σας τέχνης, και όπως σηκώνεται πάνω στ’ αμείλικτα φτερά σας, εκείνο που επιθυμεί είναι ν’ ανεβαίνει ανάλαφρα όλο και πιο ψηλά, δημιουργώντας έναν έλικα ανοδικό προς τον ουράνιο σφαιρικό θόλο. Η γης, μόνον αυταπάτες και ηθικές φαντασμαγορίες έχει να του δείξει. Ενώ εσείς, ω! Μαθηματικά συγκεκριμένα, με το γερό αλυσόδεμα των αδιάσειστων επαληθεύσεών σας και τη σταθερότητα των σιδερένιων νόμων σας, κάνετε να λάμπει στα θαμπωμένα μάτια η έντονη ανταύγεια αυτής της υπέρτατης αλήθειας, που η επαλήθευσή της διαπιστώνεται στους νόμους που διέπουν το σύμπαν. Όσο για την τάξη σας, με χαρακτηριστικό γνώρισμα την απόλυτη ισομετρία του τετραγώνου, αποδείχνεται πως ο φίλος του Πυθαγόρα είναι πολύ ανώτερός του. Γιατί ο Παντοδύναμος, με κείνη την αξιομνημόνευτη πράξη του, να βγάλει μέσ’ από τα σπλάχνα του χάους, τους θησαυρούς των θεωρημάτων σας και τα θεσπέσια απαυγάσματά σας, αποκαλύπτει πλέρια τον εαυτό του και τις δυνατότητές του. Όπως στην αρχαιότητα, έτσι και τώρα, δεν είναι μόνον ένας μεγάλος ανθρώπινος νους που είδε την μεγαλοφυΐα του τρομοκρατημένη ατενίζοντας τις συμβολικές παραστάσεις σας, χαραγμένες πάνω σε χαρτί που φλέγεται, σαν πλήθος από μυστηριώδη σήματα με ζωή και ανεπαίσθητη ανάσα, που ο πρώτος τυχόντας δεν μπορεί να καταλάβει, και που δεν ήτανε παρά η εκθαμβωτική αποκάλυψη των αιώνιων ιερογλυφικών, που έχουν υπάρξει πριν από το σύμπαν και θα διατηρηθούν μετά από αυτό. Σκυμμένος πάνω από το βάραθρο της μοιραίας απορίας, ο μεγάλος νους διερωτάται, πώς γίνεται και τα Μαθηματικά κατέχουν τόσα επιβλητικά μεγαλεία και αναμφισβήτητη αλήθεια, που αν τα συγκρίνει κανείς με τον άνθρωπο, δεν βρίσκει σε αυτόν τον τελευταίο, παρά προσποιητή υπερηφάνεια και ψέμα. Οπότε αυτό το ανώτερο πνεύμα, εξοικειωμένο με τη μεθοδολογία σας, νιώθει ακόμη πιο έντονα τη μικρότητα της ανθρωπότητας και την χωρίς προηγούμενο τρέλα της, και αποκαρδιωμένο βυθίζει το κεφάλι του, που έχει ασπρίσει, στο αποστεωμένο χέρι του, και μένει απορροφημένο στους εξώκοσμους συλλογισμούς του. Γονατίζει, και προσκυνάει ευλαβικά την θεία μορφή σας, σαν να βρίσκεται μπρος στον ίδιο τον Παντοδύναμο. Ήμουν παιδί, όταν μου παρουσιαστήκατε μια νύχτα του Μάη, και οι τρεις όμοιες σε χάρη και αγνότητα, και οι τρεις όλο μεγαλοπρέπεια σαν να είσαστε βασίλισσες. Κάνατε μερικά βήματα προς εμένα, με κείνο το μακρύ σας φόρεμα που ανέμιζε σαν αχνός, και με τραβήξατε στους κόρφους σας, σαν να ήμουν ο ευλογημένος γιος. Κι έτρεξα με λαχτάρα, τυλίγοντας τα χέρια μου στον άσπρο σας λαιμό. Μ’ ευγνωμοσύνη τράφηκα με το μάνα σας, κι ένιωσα την ανθρωπότητα να μεγαλώνει μέσα μου και να γίνεται καλύτερη. Από κείνο τον καιρό, ω! θεές ισάξιες, δεν σας εγκατέλειψα. Από κείνο τον καιρό, πόσα σχέδια για πραγμάτωση, πόσες συμπάθειες, που πίστευα πως είχα χαραγμένες στις σελίδες της καρδιάς μου, όπως πάνω σε μάρμαρο, δεν έσβησαν σιγά σιγά τις παραστατικές γραμμές τους, από το λογικό μου που είχε ανανήψει, όπως σβήνει η αυγή όταν χαράζει τις σκιές της νύχτας. Όμως εσείς, παραμένετε πάντα ίδιες. Καμιά αλλαγή, κανένας αέρας μολυσμένος δεν αγγίζει τους λαξεμένους βράχους σας και τις απέραντες εκτάσεις της υπόστασής σας. Οι σεμνές πυραμίδες σας θα επιζήσουν ακόμα πιο πολύ και από τις πυραμίδες της Αιγύπτου, από αυτές τις μυρμηγκοφωλιές που έστησαν η ηλιθιότητα και η δουλεία. Η συντέλεια των αιώνων θα δει να ορθώνονται πάνω στο ερείπιο του χρόνου, οι καβαλιστικοί σας αριθμοί, οι λακωνικές σας εξισώσεις και οι πλαστικές γραμμές σας. Ευχαριστώ, για τις άπειρες υπηρεσίες που μου προσφέρατε. Ευχαριστώ, για τα ξεχωριστά χαρίσματα που πλουτίσατε την αντίληψή μου. Χωρίς εσάς, στην πάλη μου με τον άνθρωπο, ίσως να είχα νικηθεί. Χωρίς εσάς, θα με είχε κάνει να κυλιέμαι στο χώμα και να φιλάω τη σκόνη των ποδιών του. Χωρίς εσάς, με κείνο το δόλιο νύχι του, θα μου είχε γδάρει σάρκα και οστά. Τα έβγαλα όμως πέρα, σαν έμπειρος μαχητής. Μου δώσατε την ψυχραιμία που πηγάζει από τις θαυμάσιες απόψεις σας, απαλλαγμένες από πάθος, και που επικαλέσθηκα για ν’ απορρίψω με περιφρόνηση τις εφήμερες απολαύσεις του σύντομου ταξιδιού μου και να βγάλω έξω από την πόρτα μου τις δελεαστικές, αλλά δόλιες προσφορές των ομοίων μου. Μου δώσατε την αμετάπειστη σύνεση που επαληθεύει κανείς σε κάθε βήμα μέσα στις έξοχες μεθόδους σας, της ανάλυσης, της σύνθεσης και της επαγωγής. Κι είναι αυτές που μεταχειρίστηκα, για να παραπλανήσω τις κακοήθεις μηχανορραφίες του θανάσιμου εχθρού μου, και να τον πολεμήσω εύστοχα με τη σειρά μου, μπήγοντας στα σπλάχνα του ανθρώπου ένα στιλέτο μυτερό που θα μείνει για πάντα σφηνωμένο στο κορμί του, γιατί είναι πληγή που δεν γιατρεύεται αυτή. Μου δώσατε τη λογική, που είναι η ίδια η ψυχή των σοφών διδαγμάτων σας, που με τους συλλογισμούς τους, ο περίπλοκος λαβύρινθος γίνεται πιο καταληπτός, και η αντίληψή μου ένιωσε να διπλασιάζει τις τολμηρές δυνάμεις της. Με αυτό το δηλητηριασμένο όπλο που μου δανείσατε, ανάγκασα να κατέβει από το βάθρο του, που του έφτιαξε η δειλία του ανθρώπου, ο  ίδιος ο Δημιουργός! Έτριξε τα δόντια Του και ανέχτηκε αυτή την αδιάντροπη βρισιά, γιατί ήξερε πως είχε γι’ αντίπαλο κάποιο δυνατότερό του. Κάποτε ο φιλόσοφος Ντεκάρτ έκανε τη σκέψη πως τίποτα το βέβαιο δεν έχει οικοδομηθεί πάνω σας. Και ήταν ένας ευφυής τρόπος για ν’ αφήσει να εννοηθεί πως δεν ήταν εύκολο, στον πρώτο τυχόντα ν’ ανακαλύπτει μονομιάς την ανεκτίμητη αξία σας. Πράγματι, τι πιο θετικό από τις τρεις βασικές ιδιότητες που έχω κιόλας ονομάσει, και που ορθώνονται αγκαλιασμένες και οι τρεις σαν στέμμα, στη μεγαλειώδη κορφή του κολοσσιαίου αρχιτεκτονήματός σας; Μνημείο που παίρνει ολοένα διαστάσεις από τις καθημερινές ανακαλύψεις στ’ αδαμαντωρυχεία σας, και από τις επιστημονικές εξερευνήσεις στις θαυμάσιες περιοχές σας. Ω! άγια Μαθηματικά, και να μπορούσατε με αυτή τη συνεχή επικοινωνία σας να παρηγορήσετε τις μέρες που μου μένουν, από την κακία του ανθρώπου και την αδικία του Μεγαλοδύναμου!

Σχόλιο: Πρόκειται για έναν ύμνο στα Μαθηματικά σε ποιητική μορφή και με κάποιες υπερβολές, αλλά προβάλλει μερικές χαρακτηριστικές ιδιότητες τις οποίες αποκτάει κάποιος που τα μελετάει. Δίνει μιαν άλλη άποψη για τα Μαθηματικά που δεν ‘περνάει’ στους μελετητές κατά το σχολικό μάθημα. Τι έδωσαν τα Μαθηματικά στον ποιητή και τι μπόρεσε να κάνει με αυτά;

*

**

RitaDove, Γεωμετρία.

Αποδεικνύω ένα θεώρημα και το σπίτι διαστέλλεται:/ τα παράθυρα τινάζονται απότομα και αιωρούνται κοντά στο ταβάνι/ με αναστεναγμό το ταβάνι απογειώνεται./ Καθώς οι τοίχοι διώχνουν από πάνω τους τα πάντα/ εκτός από τη διαφάνεια, κρατούν την ευωδιά/ των γαριφάλων. Βρίσκομαι έξω στο ύπαιθρο./ Ψηλά οι μεντεσέδες των παράθυρων γίνονται πεταλούδες/ εκεί που τέμνονται λαμπυρίζει το φως του ήλιου./ Πορεύονται προς κάποιο σημείο αληθές και αναπόδεικτο.

Σχόλιο: Έχουμε την περιγραφή του πώς νιώθει κάποιος που αποδεικνύει ένα θεώρημα στη Γεωμετρία. Πώς παρουσιάζει η ποιήτρια αυτή την αίσθηση; τι νιώθει ότι συμβαίνει γύρω της; Να συγκριθεί με αντίστοιχες ιστορικές απόψεις μαθηματικών όπως των Cantor, Gauss, Poincare.

*

**

VachelLindsay, Ευκλείδης.

Ο γερο-Ευκλείδης χαράζει πριν χρόνια / ένα κύκλο στην αμμουδερή ακρογιαλιά./ Τον περιβάλλει και τον κλείνει μέσα/ σε γωνίες και άλλα τέτοια./ Η ομάδα των σοβαρών γερόντων/ νεύει και διαφωνεί έντονα/ για τόξα και περιμέτρους/ διαμέτρους και άλλα τέτοια./ Δίπλα τους στέκεται όλο το πρωινό/ αμίλητο ένα παιδί/ γιατί φτιάχνουν τόσο χαριτωμένες/ εικόνες στρογγυλές του φεγγαριού.

Σχόλιο: Η αντίληψη του παιδιού για τα γεωμετρικά σχήματα είναι διαφορετική από αυτή των μαθηματικών. Το παιδί αντιλαμβάνεται μόνο την αισθητική πλευρά των σχημάτων που τα εκλαμβάνει ως «χαριτωμένες εικόνες στρογγυλές του φεγγαριού» και αυτό είναι που το κάνει να «στέκεται όλο το πρωινό αμίλητο» και να παρακολουθεί. Τι προκύπτει από αυτό το ποίημα για τη διδασκαλία των Μαθηματικών;

*

**

WislawaSzymborska, Πι.

Ο αξιοθαύμαστος αριθμός πι:/ τρία κόμμα ένα τέσσερα ένα./ Όλα τα επόμενα ψηφία είναι επίσης αρχικά/ γιατί δεν τελειώνει ποτέ./ Δεν μπορεί να κατανοηθεί με μια ματιά/ με υπολογισμό/ ή φαντασία/ ούτε ακόμα με ευστροφία, δηλαδή σε σύγκριση/ με οτιδήποτε άλλο/ στον κόσμο./ Το μακρύτερο φίδι στη γη φτάνει περίπου στα σαράντα πόδια./ Όμοια, φίδια μύθων και θρύλων, αν και κείνα μπορεί να/ είναι λίγο μακρύτερα./ Η αναπαράσταση των ψηφίων του αριθμού πι/ δεν σταματάει στο τέλος της σελίδας./ Συνεχίζεται κατά μήκος του τραπεζιού, στον αέρα, στον τοίχο,/ σ’ ένα φύλλο, τη φωλιά ενός πουλιού, τα σύννεφα, κατευθείαν στο διάστημα/ μέσα από όλους τους άβυθους φουσκωμένους ουρανούς./ Πόσο μικρή -μια ποντικοουρά, μια γουρουνοουρά- είναι η ουρά ενός κομήτη!/ Πόσο αδύναμη η αχτίνα ενός αστεριού που λυγίζει πέφτοντας στο χώρο! / Ενώ εδώ έχουμε / το νούμερο του τηλεφώνου μου το νούμερο του πουκαμίσου σου/ το έτος 1973 τον έκτο όροφο/ τον αριθμό των κατοίκων εξήντα πέντε σεντς / την περιφέρεια των γοφών δυο δάχτυλα κοροϊδία ένα κώδικα/ στον οποίο βρίσκουμε/ κυρίες και κύριοι δεν υπάρχει λόγος να ανησυχείτε/ ο ουρανός και η γη θα καταστραφούν/ αλλά όχι ο αριθμός πι, όχι, μην κάνοντας τίποτα/ παραμένει με το μάλλον αξιοσημείωτο πέντε του/ το ασυνήθιστα φίνο οχτώ του/ το πολύ απομακρυσμένο από το τέλος εφτά του / σκουντώντας, πάντα σκουντώντας μια καθαρή αιωνιότητα/ να συνεχίσει.

Σχόλιο: Ποιητική περιγραφή του γνωστού αριθμού π=3,14 κτλ. ο οποίος δεν τελειώνει ποτέ. Πώς εκλαμβάνει η ποιήτρια το π; ποια μέσα χρησιμοποιεί για να το παρουσιάσει; με τι το συγκρίνει;

*

**

JoAnne Growney, Ο Χορός μου Είναι τα Μαθηματικά.

Σε αποκαλούσαν ο Noether λες και τα Μαθηματικά / είναι μόνο για άντρες. Το 1964, σχεδόν τριάντα χρόνια/ από το θάνατό σου, επιτέλους σε είδα σε μια διαφήμιση/ στην παγκόσμια γιορτή στη Νέα Υόρκη/ με τίτλο «Πρόσωπα των Σύγχρονων Μαθηματικών»./ Οι συνάδελφοι εγκωμίαζαν την ευφυία σου, αφού πρώτα είχαν πει/ ότι ήσουν χοντρή και συνηθισμένη, άξεστη και θορυβώδης./ Κάποιοι ανέφεραν την ευγένεια και το καλό σου χιούμορ/ αλλά μόνο στο τέλος παραδέχονταν τον αποφασιστικό ρόλο σου/ στη δημιουργία της Αξιωματικής Άλγεβρας./ Γελώντας διηγούνται μια ιστορία του 1890/ όταν ήσουν οχτώ χρονών. Σε ένα πάρτι γενεθλίων/ ανάγγειλες τη λύση ενός δύσκολου μαθηματικού γρίφου. / Εκείνη την ημέρα ξεχώρισες/ ως κάποιος που θα ακολουθούσα./ Καθώς σε παρακολουθούσα, είδα ότι έπρεπε να διαλέξεις/ μεταξύ των Μαθηματικών και κάποιου άλλου έρωτα./ Αν και οι άντρες θα μπορούσαν να κάνουν και τα δυο/ για σένα ίσχυε διαφορετικό κριτήριο./ Αν ο χορός μιας γυναίκας είναι τα Μαθηματικά/ πρέπει να χορεύει μόνη; / Άκουσα μανάδες να λένε μην την πειράζετε. / Αν και η Emmy είναι παράξενη, η καρδιά της είναι ευγενική./ Βοηθάει τη μητέρα της να καθαρίσει το σπίτι/ και δεν φταιει αυτή που έχει μαθηματικό μυαλό./ Οι δάσκαλοι έλεγαν, είναι έξυπνη/ αλλά μάλλον επίμονη, καβγατζού και θορυβώδης / και σκέπτεται αφηρημένα όχι σαν κι εμάς/ δεν προτίθεται να ασπαστεί τις ιδέες μας./ Οι φοιτητές έλεγαν, είναι δύσκολο/ να την παρακολουθήσω, τη βαριέμαι. Λίγοι στις μπροστινές σειρές / την είδαν να ασχολείται με μια ζωτική έρευνα-/ την έφτιαξαν αυτοί ενώ στηρίζονταν στους ώμους της./ Η αφηρημένη αξιωματική άποψη της Emmy Noether/ άλλαξε το πρόσωπο της Άλγεβρας. / Μας βοήθησε να σκεφτούμε με απλούς όρους / που άνθισαν στη γενικότητά τους./ Παρά τις ικανότητες της Emmy/ πάντα υπήρχαν λόγοι / να μην της δίνουν θέσεις/ ή μόνιμη απασχόληση./ Είναι ειρηνίστρια, γυναίκα./ Είναι γυναίκα και εβραία./ Δεν σκέφτεται όπως εμείς./ Τα βιβλία ιστορίας λένε τώρα ότι η Noether/ είναι η μεγαλύτερη μαθηματικός / που έβγαλε το φύλο της./ Λένε ότι για γυναίκα ήταν πολύ καλή./ Ευθύς και με θάρρος/ με αυταπάρνηση/ ωραίο μυαλό/ καλοαναθρεμμένη και ευγενική/ μια ηθική παρηγοριά / σε δύσκολη εποχή/ ένας ποιητής λογικών ιδεών./ Αν ο χορός μιας γυναίκας είναι τα Μαθηματικά/ πρέπει να χορεύει μόνη;/ Τιμή σε σένα Emmy Noether./ Προσκάλεσε ένα μαθηματικό σε χορό.

Σχόλιο: Η ποιήτρια είναι και μαθηματικός. Παρουσιάζει το πορτρέτο μιας μεγάλης μαθηματικού, της Emmy Noether, και παράλληλα θέτει διάφορα προβλήματα που έχουν οι γυναίκες μαθηματικοί σε σχέση με τους άντρες. Ποιο ήταν το έργο της Noether; ποια η αντιμετώπισή της από τους άλλους μαθηματικούς; τι συμπεράσματα βγαίνουν από αυτή τη στάση για τις πεποιθήσεις για τα Μαθηματικά;

*

**

Γενικότερα μπορούν να τεθούν ερωτήματα όπως: Πώς μπορεί η μελέτη τέτοιων ποιημάτων να επιδράσει θετικά στη στάση και τις πεποιθήσεις των μελετητών στο γνωστικό αντικείμενο των Μαθηματικών; Τι εμπνέει τους ποιητές να γράφουν ποιήματα για τα Μαθηματικά; Υπάρχει εναλλακτική άποψη για τα Μαθηματικά εκτός από την τρέχουσα και ποια είναι αυτή; Προκύπτει από τη μελέτη των ποιημάτων;

3. Συμπέρασμα: Συστημική Προσέγγιση και Διαθεματικότητα

Το πέρασμα από την αναλυτική στη συστημική προσέγγιση απαιτεί άλλες μεθόδους εκπαίδευσης. Η διδασκαλία βασικών γνώσεων και των αρχών της σκέψης συμπληρώνεται με μεθόδους που προάγουν την ολοκλήρωση της γνώσης. Αντί για εγκυκλοπαιδικού τύπου προσέγγιση για την κατάκτηση της πληροφορίας, χρειάζεται να χρησιμοποιήσουμε τη συστημική μέθοδο που επιτρέπει στους μελετητές να ολοκληρώνουν τη νέα πληροφορία και να την τοποθετούν στο πλαίσιό της. Η συστημική προσέγγιση σημαίνει ότι τα διδασκόμενα θέματα δεν πρέπει να διαιρούνται έτσι ώστε να απομνημονεύονται, αλλά ότι η γνώση πρέπει να αναδομείται συνεχώς από τα αρχικά της στοιχεία και να θεωρείται ως ενιαία. Η Συστημική Εκπαίδευση βοηθάει κάθε άτομο να ανακατασκευάσει τις σχέσεις μεταξύ των διαφόρων ιεραρχικών επιπέδων της γνώσης. Η εκπαίδευση πρέπει να είναι συστημική και συνθετική –συστημική για να σπάσει τη γραμμικότητα και να δημιουργήσει αλληλεξαρτώμενα στοιχεία και συνθετική για να επιτρέψει στους μελετητές να συναρμολογήσουν αυτά τα στοιχεία σε προσωπική δομή που εμπλουτίζει την αντίληψή τους για τον εαυτό, τη ζωή  και τον κόσμο. Το συστημικό, ολιστικό, συνθετικό πνεύμα οδηγεί σε αντίστοιχη εκπαίδευση, σφαιρική και εξισορροπημένη ανάπτυξη, συνείδηση της διασύνδεσης και αλληλεπίδρασης, καλλιέργεια της ολιστικής επίγνωσης των πραγμάτων.

Έτσι, δίνεται προτεραιότητα σε έννοιες, δεξιότητες και στάσεις που εδώ καλύπτουν δυο κλάδους ή γνωστικά αντικείμενα: Μαθηματικά και ποίηση. Αυτό βοηθάει τους μελετητές να δουν την αλληλο-σύνδεση και τις σχέσεις μεταξύ των κλάδων και είναι ακριβώς αυτές οι διασυνδέσεις που κινητοποιούν τους μελετητές και δημιουργούν ενδιαφέρον. Βέβαια, κάτι τέτοιο απαιτεί πολυ-μαθήματα με δια-τμηματικές ομάδες διδασκόντων, κοινό σχεδιασμό και χρόνο διδασκαλίας (Fogarty). Δίνεται επίσης έμφαση στη σπουδαιότητα της αλληλεξάρτησης, στη δυναμικότητα και στην ολιστικότητα της σύνθεσης. Χρησιμοποιούνται θέματα κάθετης ολοκλήρωσης, γενικά θέματα που μπορούν να ολοκληρώσουν διάφορους κλάδους και επίπεδα πολυπλοκότητας γύρω από ένα κεντρικό θέμα-άξονα. Φροντίζουμε ώστε η γνώση των γεγονότων και των πληροφοριών να μη διαχωρίζεται από την κατανόηση των μεταξύ τους σχέσεων.

Στόχος είναι να πετύχουμε την εννοιακή αλλαγή στους μελετητές, να τους οδηγήσουμε δηλαδή από τις αρχικές τους αντιλήψεις, με τα λάθη και τις παρανοήσεις που αυτές περιλαμβάνουν, στην επιστημονική κατανόηση της πραγματικότητας. Συνηθισμένο είδος εννοιακής αλλαγής συνιστά ο εμπλουτισμός, δηλαδή η προσθήκη εννοιών σε υπάρχουσα εννοιακή δομή. Άλλα είδη σχετίζονται με τη διαφοροποίηση, τη συνένωση, την αύξηση της ιεραρχικής οργάνωσης, την εναρμόνιση, την αναδιοργάνωση. Ο μελετητής εξαρτά τη γνώση του από το πλαίσιο μέσα στο οποίο μαθαίνει τη νέα έννοια. Με τη διαθεματικότητα όμως αναγκάζεται να δει τη νέα έννοια μέσα από πολλά πλαίσια και όχι μόνον ένα. Με τον τρόπο αυτό τα πλαίσια μπορούν να αλλάζουν, αλλά η πεμπτουσία της έννοιας παραμένει η ίδια και παίρνει πολλές εκφάνσεις. Αυτό βοηθάει τον μελετητή να συλλάβει την έννοια σε όλες τις εκφάνσεις της μέσα από τα διαφορετικά πλαίσια που την αντιμετωπίζει και μπορεί να την εφαρμόζει σε όλα αυτά και όχι μόνο σε ένα. Έτσι πετυχαίνει την αφαίρεση και τη γενίκευση, την αφομοίωση και την προσαρμογή που είναι απαραίτητες στη μάθηση. Η διαθεματικότητα λοιπόν είναι απαραίτητη για τη σφαιρική και πλήρη σύλληψη μιας έννοιας και συμβάλλει στην ολιστικότητα της αναπαράστασής της (Γαβαλάς).

Η μάθηση μπορεί να ειδωθεί και ως διαδικασία εννοιακής αλλαγής, ως το αποτέλεσμα της αλληλεπίδρασης μεταξύ αυτού που ο μελετητής διδάσκεται, δηλαδή νέες έννοιες και νέα πληροφορία, και των τρεχουσών εννοιών του. Σε ένα τέτοιο πλαίσιο, ο δάσκαλος πρέπει να καθοδηγεί αυτούς που μελετούν να συνειδητοποιήσουν τις βασικές τους αναπαραστάσεις, τα νοητικά τους πρότυπα, τα κοσμοείδωλά τους και να διαπιστώσουν ποια από αυτά είναι σύμφωνα με την επιστημονική άποψη, ποια είναι συνεπή με τη σύγχρονη αντίληψη της πραγματικότητας, και να μπορούν να αντιληφθούν την ωφέλεια που προκύπτει από τις νέες έννοιες. Επίσης, ο δάσκαλος πρέπει να δημιουργεί γνωστικές συγκρούσεις/ αντιθέσεις στους μελετητές (εδώ Μαθηματικά και ποίηση), έτσι ώστε μέσα από αυτές να πετυχαίνουν την εννοιακή αλλαγή, να συνειδητοποιούν τα λάθη τους, να αξιολογούν τη διαδικασία αυτής της αλλαγής και κυρίως να αναπαριστούν το περιεχόμενο των εννοιών με πολλούς τρόπους -λεκτικό, εικονικό, συμβολικό, μαθηματικό, πρακτικό, ποιητικό κτλ.- σε πολλά πλαίσια και να μεταφράζουν τον ένα τρόπο στον άλλο (Posneretal.).

Πηγές Πληροφορίας

Γαβαλάς, Δ. (2003). Το Πλαίσιο Αναφοράς της Διαθεματικότητας. Στο Κ. Αγγελάκος (επιμ.) Διαθεματικές Προσεγγίσεις της Γνώσης στο Ελληνικό Σχολείο. Μεταίχμιο, Αθήνα. (σ. 18-39).

Γέμτος, Π. Α. (2005). Επιστήμη και Τέχνη: Η Διαφορετική Χρήση της Γλώσσας στη Γνωστική και Αισθητική Σύλληψη του Κόσμου. Στο Επιστήμη και Τέχνη. Πρακτικά Εργασιών Συνεδρίου, Τόμος Α΄. Ένωση Ελλήνων Φυσικών, Αθήνα. (σσ. 37-43).

Fogarty, R. (1991). The Mindful School: How to Integrate the Curricula. Skylight Publ. Inc., Palatine, Il.

Posner, G. J. et al. (1982). Accommodation of a Scientific Conception: Toward a Theory of Conceptual Change. Science Education 66(2), 211-217.

Snow, C. P. (1963). The Two Cultures. Cambridge, Cambridge University Press.

 * O Δημήτρης Γαβαλάς είναι μαθηματικός, ποιητής, συγγραφέας.